大家好！本文和大家分享一下这道2016年高考全国3卷理科数学的压轴题。这道题综合考查了导数的计算、导数与函数的最值、分类讨论等知识。作为一道压轴题，题目的难度自然是不小的，正确率更是不到5％。下面我们就来一起看一下这道题高考压轴题。
先看第一小问：求导数。
要求导数，首先要掌握基本函数的导数，本题中涉及到的基本函数的导数有：(c)'=0，c为常数；(cosx)'=-sinx；(sinx)'=cosx；(ax)'=a；复合函数的导数为外层函数的导数与内层函数的导数的积。
掌握了上面的知识再求f(x)的导数就简单了。即f'(x)=a(cos2x)'+(a-1)(cosx)'=a(-sin2x)×2+(a-1)(-sinx)=-2asin2x-(a-1)sinx。
再看第二小问：求|f(x)|的最大值a。
要求a，实际上就是求|f(x)|≤a，看到这儿就可以想到绝对值不等式。绝对值不等式有两种形式：①|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≤0时左边取等号，当且仅当ab≥0时右边取等号；②|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时左边取等号，当且仅当ab≤0时右边取等号。
但是在用绝对值不等式求解的过程中可以发现，当0＜a＜1时，不满足取等的条件，所以此时要用另外的方法求解，即构造新函数，用导数来求最值。
当a≥1时，可以直接用绝对值不等式求解，这种情况下比较简单，过程见下图。
当0＜a＜1时，先将f(x)变形，即用二倍角余弦公式变成只含有cosx的形式，然后再换元，变成一个二次函数。这个二次函数的开口向上，并且定义域为[-1,1]，所以原问题就变成了求这个二次函数在[-1,1]上的绝对值的最大值。二次函数在某个闭区间上绝对值的最大值在什么地方取得呢？两种情况，一是在端点处函数值的绝对值，二是顶点纵坐标的绝对值。当然，如果最大值是顶点纵坐标的绝对值，那么说明顶点在区间内，所以我们还需要进一步分为对称轴在区间内和在区间外进行更详细的讨论。详细过程见下图。
最后看第三小问：证明|f'(x)|≤2a。
在第二小问中，我们将a分成了三种情况来讨论，所以在第三小问中也按照前面的分类来讨论，然后进行适当的放缩即可证明结论。
这道压轴题的难度还是不小，特别是第二小问让很多同学不知所措。当然，作为一道压轴题，肯定不是人人都会做的，但是在考试中也不要轻易放弃，再难的解答题都会有相对容易的小问，比如本题中的第一小问就是送分题，相信大部分考生都是能做出来的。
2016年考研数学一难度(2016年考研数学一难度分析)


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